POWŁOKA ŻELBETOWA OPARTA NA PIERŚCIENIU SPRĘZYSTYM
Dla danej powłoki żelbetowej obliczyć przemieszczenia
oraz siły wewnętrzne w powłoce oraz wieńcu sprężystym. Wyniki porównać z wynikami analitycznymi
wykonanymi metodą zaburzeń brzegowych
(Z. Mazurkiewicz, Cienkie powłoki sprężyste str. 257--264).
Konstrukcja została przedstawiona na rys. 2.61
Rys.1. Schemat konstrukcji powłoki opartej na pierścieniu.
W obliczeniach przyjęto R=23.34m, Ro(alpha2) = 15.0m,
alpha=40o, grubość powłoki h=0.06m
i wymiary pierścienia b=0.6m, d = 0.5m.
Moduły sprężystości pierścienia i powłoki
wynoszą Ep = Ec = 2.1kN/m2, a współczynnik
Poissona ni= 0.
Konstrukcja jest obciążona ciężarem własnym
q= 2.0kN/m2.
Istnieje różnica pomiędzy modelami konstrukcji
przedstawionymi w podręczniku i modelem
elementów skończonych w programie FEAS. Chodzi tu
o sposób traktowania wieńca podporowego.
Różnice te przedstawione zostały na rysunkach 23.2 i 23.3,
w modelu programu FEAS nie ma uwzględnionego wpływu
mimośrodu.
Rys.2. Model podparcia powłoki wg. (Mazurkiewicz).
Rys.3. Model podparcia powłoki (program FEAS).
Dokonano porównania wyznaczonej przy pomocy
programu FEAS siły podłużnej występującej w wieńcu
podporowym, z rozwiązaniem analitycznym
otrzymanym metodą elementów brzegowych.
Siła w wieńcu podporowym została wyznaczona
zgodnie z następującymi wzorami:
N2q = -(q R)/{1 + cos(hi))
Jest to siła działająca na brzegu powłoki, wynosi ona
N2q = -(2 x 23.34)/(1 + cos(40)) = -26.43 kN/m
Pierścień jest rozciągany jedynie siłą poziomą,
która wynosi:
H = N2q(alpha2) x cos(alpha2).
Jej wartość liczbowa to
H = N2q cos(alpha) = -26.43 cos(40) = -20.25 kN/m
Zatem siła w pierścieniu wynosi:
N = H Ralpha = -20.25 x 15.0 = 303.8 kN/m.
Stanowi to wobec rozwiązania otrzymanego programem
FEAS wynoszącym N = 303.8 kN 6% różnicy.
e = (303.8 - 285.0) x 100/(303.8}
= 6%
Poniżej podany został przykład sesji programu FEAS.
ROZPOCZĘCIE PRACY
$> feas - wejście do systemu feas,
FEAS> - system zgłasza gotowość do pracy,
OPIS KONSTRUKCJI
FEAS> ok - wejście do podsystemu OK - Opis Konstrukcji,
Podaj rodzaj konstrukcji ps - ps, symbol oznaczający powłokę obrotowo symetryczną,
OK> - podsystem zgłasza gotowość do pracy,
węzły i elementy powłoki sferycznej
węzły powłoki sferycznej wprowadzamy w układzie biegunowym,
r=23.34 m, fi1 = 50o, fi2 = 36.7o, środek
układu współrzędnych xo = 0, yo =0.
OK> w w-1 23.34 50 - definicja pierwszego węzła,
OK> w w-2 23.34 90 - definicja drugiego węzła,
OK> gw w-1 w-2 10 - generacja węzłów pośrednich,
OK> zuw w-1 do w-12 - zmiana układu współrzędnych
z biegunowego na kartezjański,
OK> e e-1 w-1 w-2 - definicja elementu wzorcowego,
OK> ge e-1 1 1 11 - generacja 11 elementów, korzystając z elementu
wzorcowego e-1,
wczytanie danych materiałowych i geometrycznych,
OK> m m1
MAT: Ro=0? >
MAT: E=0? > 2.1E7
MAT: Ni=0? > 0
MAT: ALFT? >
OK> g g1
GEOM: H=0? > 0.06
wprowadzenie elementu wieńca,
OK> zt pi - zmiana typu elementu na typ
elementu wieńca
OK> e e-12 w-1 - definicja elementu wieńca
dane materiałowe i geometryczne dla elementu wieńca,
OK> g g2
GEOM: A=0? > 0.3
GEOM: Jx=0? > 0.625E-2
GEOM: Jy? > 0.9E-2
OK> m m2
MAT: Ro=0? >
MAT: E=0? > 2.1E7
MAT: ALFT? >
OK> p e e-12 m2 g2 - przypisanie elementowi wieńca materiału i geometrii}
opis obciążeń elementowych,
OK> zt ps - zmiana typu konstrukcji na typ
konstrukcji powłoki obrotowo symetrycznej,
OK> uoe g - obciążenia elementowe zadane będą
w układzie globalnym,
OK> oe oe-1 /ln - wprowadzenie danych obciążenia elementowego o nazwie oe-1, obciążenie jest ciągłe na całym elemencie -- opcja /ln,
OK> OE: px1 = 0 > 0.0 - podajemy wartości działającego obciążenia (takie jakie występują w każdym miejscu na obwodzie powłoki), jednostki kN/m2,
OE: py1 = 0 ?>-2.0
OE: mz1 = 0 ?>0
OE: px1 = 0 ?>0.0
OE: py1 = 0 ?>-2.0
OE: mz1 = 0 ?>
OK>pe e-1 do e-11 oe-1 - przypisanie elementom od e-1 do e-11 obciążenia elementowego oe-1.
zapisanie danych do pliku,
OK> zapisz pierscien - zapisanie danych do zadania do pliku
"pierscien"
TYTUL> Powloka sferyczna + pierścień
OK> .. - wyjście z podsystemu OK,
ROZWIĄZANIE ZADANIA
OK> ro s - rozwiązanie zadania statyki
Poniżej zestawione zostały wprowadzone dane oraz otrzymane wyniki.
FEAS * Wspolrzedne wezlow
Wezel Wsp.X Wsp.Y
----------------------------------
W-1 15.002663 17.879477
W-2 13.838471 18.795008
W-3 12.618557 19.634857
W-4 11.347832 20.395644
W-5 10.031413 21.074305
W-6 8.6746017 21.668108
W-7 7.2828606 22.174660
W-8 5.8617940 22.591923
W-9 4.4171240 22.918216
W-10 2.9546679 23.152225
W-11 1.4803143 23.293009
W-12 1.429E-15 23.340000
---------------------------------
FEAS * Elementy
Element Typ Mat. Geom. Wez.1 Wez.2
----------------------------------------------------------
E-1 PS M1 G1 W-1 W-2
E-2 PS M1 G1 W-2 W-3
E-3 PS M1 G1 W-3 W-4
E-4 PS M1 G1 W-4 W-5
E-5 PS M1 G1 W-5 W-6
E-6 PS M1 G1 W-6 W-7
E-7 PS M1 G1 W-7 W-8
E-8 PS M1 G1 W-8 W-9
E-9 PS M1 G1 W-9 W-10
E-10 PS M1 G1 W-10 W-11
E-11 PS M1 G1 W-11 W-12
E-12 PI M2 G2 W-1
----------------------------------------------------------
FEAS * Materialy
-----------------
Nazwa: M1 Typ: PS
Ro = 0.0
E = 21000000.
Ni = 0.0
AlfT = 0.0
Nazwa: M2 Typ: PI
Ro = 0.0
E = 21000000.
AlfT = 0.0
-----------------
FEAS * Geometria
-----------------
Nazwa: G1 Typ: PS
H = 0.06000000
Nazwa: G2 Typ: PI
A = 0.30000000
Jx = 0.00625000
Jy = 0.00900000
-----------------
FEAS * Przemieszczenia wezlow
Wezel Ux Uy Fiz
-----------------------------------------------
W-1 0.00063115 0.0 0.00095832
W-2 -.00010079 -.00097949 0.00036251
W-3 -.00016487 -.00112607 -.00001268
W-4 -.00014322 -.00114745 0.00002015
W-5 -.00013959 -.00120376 0.00002873
W-6 -.00013182 -.00125742 0.00002164
W-7 -.00011807 -.00130234 0.00001566
W-8 -.00009988 -.00133978 9.589 E-06
W-9 -.00007811 -.00136945 2.177 E-06
W-10 -.00005349 -.00139028 -8.813 E-06
W-11 -.00002687 -.00140107 -.00002690
W-12 0.0 -.00143404 -.00004605
-----------------------------------------------
FEAS * Naprezenia / sily przekrojowe w elementach
----------------------------------------------------------------------------
Sily przekrojowe - element E-1
ksi Ns Nt Ms Mt
0.00 -23.634550 53.007253 0.10050052 -.01897947
0.50 -23.634550 17.212440 -.15206210 -.01870493
1.00 -23.634550 -9.1772408 -.40462472 -.00778360
Sily przekrojowe - element E-2
ksi Ns Nt Ms Mt
0.00 -23.817498 -9.1772408 -.20120726 -.00815616
0.50 -23.817498 -16.403615 -.09575909 -.00168578
1.00 -23.817498 -16.462448 0.00968908 0.00031296
Sily przekrojowe - element E-3
ksi Ns Nt Ms Mt
0.00 -23.137979 -16.462448 0.01013165 0.00032599
0.50 -23.137979 -15.869207 0.00837941 -.00014746
1.00 -23.137979 -15.902889 0.00662718 -.00057582
Sily przekrojowe - element E-4
ksi Ns Nt Ms Mt
0.00 -24.699035 -15.902889 0.01479994 -.00059653
0.50 -24.699035 -16.582291 0.00218930 -.00115631
1.00 -24.699035 -17.533654 -.01042134 -.00096211
Sily przekrojowe - element E-5
ksi Ns Nt Ms Mt
0.00 -24.359515 -17.533654 0.00722490 -.00099163
0.50 -24.359515 -18.352619 -.00180756 -.00126003
1.00 -24.359515 -19.146967 -.01084001 -.00086401
Sily przekrojowe - element E-6
ksi Ns Nt Ms Mt
0.00 -24.064364 -19.146967 0.00869486 -.00088626
0.50 -24.064364 -19.790937 -.00152757 -.00127610
1.00 -24.064364 -20.426835 -.01175000 -.00076370
Sily przekrojowe - element E-7
ksi Ns Nt Ms Mt
0.00 -23.820399 -20.426835 0.01096848 -.00077980
0.50 -23.820399 -20.952513 -.00154914 -.00137326
1.00 -23.820399 -21.469529 -.01406676 -.00059329
Sily przekrojowe - element E-8
ksi Ns Nt Ms Mt
0.00 -23.627920 -21.469529 0.01405772 -.00060314
0.50 -23.627920 -21.892171 -.00189157 -.00154287
1.00 -23.627920 -22.280586 -.01784086 -.00018174
Sily przekrojowe - element E-9
ksi Ns Nt Ms Mt
0.00 -23.484448 -22.280586 0.01952416 -.00018398
0.50 -23.484448 -22.602164 -.00280508 -.00187889
1.00 -23.484448 -22.808716 -.02513433 0.00111337
Sily przekrojowe - element E-10
ksi Ns Nt Ms Mt
0.00 -23.412912 -22.808716 0.03122376 0.00112243
0.50 -23.412912 -23.010595 -.00461654 -.00292705
1.00 -23.412912 -22.871657 -.04045684 0.00683829
Sily przekrojowe - element E-11
ksi Ns Nt Ms Mt
0.00 -23.738568 -22.871657 0.08416238 0.00686593
0.50 -23.738568 -23.063169 -.00488815 -.02590525
1.00 -23.738568 -23.580451 -.09393867 1.175E+08
Sily przekrojowe - element E-12
N = 265.03627 Mx = -8.3837796
----------------------------------------------------------------------------
Dla danej powłoki żelbetowej obliczyć przemieszczenia oraz siły wewnętrzne w powłoce oraz wieńcu sprężystym. Wyniki porównać z wynikami analitycznymi wykonanymi metodą zaburzeń brzegowych (Z. Mazurkiewicz, Cienkie powłoki sprężyste str. 257--264). Konstrukcja została przedstawiona na rys. 2.61
Rys.1. Schemat konstrukcji powłoki opartej na pierścieniu.
W obliczeniach przyjęto R=23.34m, Ro(alpha2) = 15.0m, alpha=40o, grubość powłoki h=0.06m i wymiary pierścienia b=0.6m, d = 0.5m. Moduły sprężystości pierścienia i powłoki wynoszą Ep = Ec = 2.1kN/m2, a współczynnik Poissona ni= 0. Konstrukcja jest obciążona ciężarem własnym q= 2.0kN/m2.
Istnieje różnica pomiędzy modelami konstrukcji przedstawionymi w podręczniku i modelem elementów skończonych w programie FEAS. Chodzi tu o sposób traktowania wieńca podporowego. Różnice te przedstawione zostały na rysunkach 23.2 i 23.3, w modelu programu FEAS nie ma uwzględnionego wpływu mimośrodu.
Rys.2. Model podparcia powłoki wg. (Mazurkiewicz).
Rys.3. Model podparcia powłoki (program FEAS).
Dokonano porównania wyznaczonej przy pomocy programu FEAS siły podłużnej występującej w wieńcu podporowym, z rozwiązaniem analitycznym otrzymanym metodą elementów brzegowych. Siła w wieńcu podporowym została wyznaczona zgodnie z następującymi wzorami:
Jest to siła działająca na brzegu powłoki, wynosi ona
Pierścień jest rozciągany jedynie siłą poziomą, która wynosi:
H = N2q(alpha2) x cos(alpha2).
Jej wartość liczbowa to
Zatem siła w pierścieniu wynosi:
Stanowi to wobec rozwiązania otrzymanego programem FEAS wynoszącym N = 303.8 kN 6% różnicy.
Poniżej podany został przykład sesji programu FEAS.
węzły powłoki sferycznej wprowadzamy w układzie biegunowym,
r=23.34 m, fi1 = 50o, fi2 = 36.7o, środek
układu współrzędnych xo = 0, yo =0.
$> feas - wejście do systemu feas,
FEAS> - system zgłasza gotowość do pracy,
FEAS> ok - wejście do podsystemu OK - Opis Konstrukcji,
Podaj rodzaj konstrukcji ps - ps, symbol oznaczający powłokę obrotowo symetryczną,
OK> - podsystem zgłasza gotowość do pracy,
OK> w w-1 23.34 50 - definicja pierwszego węzła,
OK> w w-2 23.34 90 - definicja drugiego węzła,
OK> gw w-1 w-2 10 - generacja węzłów pośrednich,
OK> zuw w-1 do w-12 - zmiana układu współrzędnych
z biegunowego na kartezjański,
OK> e e-1 w-1 w-2 - definicja elementu wzorcowego,
OK> ge e-1 1 1 11 - generacja 11 elementów, korzystając z elementu
wzorcowego e-1,
OK> m m1
MAT: Ro=0? >
MAT: E=0? > 2.1E7
MAT: Ni=0? > 0
MAT: ALFT? >
OK> g g1
GEOM: H=0? > 0.06
OK> zt pi - zmiana typu elementu na typ
elementu wieńca
OK> e e-12 w-1 - definicja elementu wieńca
OK> g g2
GEOM: A=0? > 0.3
GEOM: Jx=0? > 0.625E-2
GEOM: Jy? > 0.9E-2
OK> m m2
MAT: Ro=0? >
MAT: E=0? > 2.1E7
MAT: ALFT? >
OK> p e e-12 m2 g2 - przypisanie elementowi wieńca materiału i geometrii}
OK> zt ps - zmiana typu konstrukcji na typ
konstrukcji powłoki obrotowo symetrycznej,
OK> uoe g - obciążenia elementowe zadane będą
w układzie globalnym,
OK> oe oe-1 /ln - wprowadzenie danych obciążenia elementowego o nazwie oe-1, obciążenie jest ciągłe na całym elemencie -- opcja /ln,
OK> OE: px1 = 0 > 0.0 - podajemy wartości działającego obciążenia (takie jakie występują w każdym miejscu na obwodzie powłoki), jednostki kN/m2,
OE: py1 = 0 ?>-2.0
OE: mz1 = 0 ?>0
OE: px1 = 0 ?>0.0
OE: py1 = 0 ?>-2.0
OE: mz1 = 0 ?>
OK>pe e-1 do e-11 oe-1 - przypisanie elementom od e-1 do e-11 obciążenia elementowego oe-1.
OK> zapisz pierscien - zapisanie danych do zadania do pliku
"pierscien"
TYTUL> Powloka sferyczna + pierścień
OK> .. - wyjście z podsystemu OK,
OK> ro s - rozwiązanie zadania statyki
Poniżej zestawione zostały wprowadzone dane oraz otrzymane wyniki.