"Analiza łuku kołowego Metodą elementów skończonych"
Bogdan Kazimierczak
Przedmiotem pracy jest łuk kołowy w zagadnieniach statyki liniowej, dynamiki i stateczności początkowej. Celem pracy jest opracowanie elementu skończonego płaskiego łuku kołowego dla potrzeb systemu FEAS.
System FEAS wykorzystywany jest w dydaktyce , a pełna instalacja w środowisku systemu operacyjnego UNIX pozwala wykorzystać go jako efektywne narzędzie wspomagające pracę projektanta. Systemem tym można analizować w zakresie statycznym i dynamicznym konstrukcje prętowe, powierzchniowe , bryłowe, analizować stateczność konstrukcji prętowych, obliczać charakterystyki geometryczne dowolnych przekrojów, analizować rozkład temperatur w obiektach dwu- i trójwymiarowych. Jednym z głównych części składowych FEAS'a jest Biblioteka Elementów Skończonych. Należą do niej dwuwęzłowe elementy prętowe, płyty cienkie i średniej grubości, powłoki cienkie. Brak w niej elementu łuku kołowego, który byłby spójny z innymi elementami systemu FEAS. Element taki powinien mieć 6 stopni swobody, dać się połączyć z elementem ramy płaskiej.
Ważnym punktem w pracy był dobór funkcji kształtu opisujących pole przemieszczeń elementu skończonego. Zaproponowano funkcje kształtu dla elementu łuku kołowego w postaci sumy wielomianów stopnia drugiego, pierwszego oraz funkcji trygonometrycznych sinus i cosinus zmiennej s spełniające warunek stałej podłużnej odkształcalności osi łuku.
Należy zaznaczyć, że dobór funkcji kształtu jest uzależniony od klasy zagadnienia, do którego badania ma być dany element skończony używany. Wybrane w pracy funkcje kształtu powinny dawać szczególnie dobre efekty przy analizowaniu konstrukcji z obciążeniem równomiernie rozłożonym o charakterze parcia hydrostatycznego gdyż siła w łuku ma wtedy stałą wartość.
Wybrane funkcje kształtu posłużyły do zbudowania macierzy sztywności, mas oraz geometrycznej elementu o wyrazach danych w postaci jawnej ( bez konieczności całkowania numerycznego). Napisano zestaw procedur obliczających w.w macierze i redukujących obciążenie przęsłowe do węzłowego. Skorzystano także z wielu programów bibliotecznych systemu FEAS. Poprawność wyprowadzonych macierzy sprawdzono porównując otrzymane wartości ugięć, częstotliwości drgań własnych i obciążeń krytycznych z wartościami znanymi w literaturze.
W rozważaniach przyjęto liniowe związki fizyczne - prawo Hook'a, liniowe związki geometryczne dla małych przemieszczeń i odkształceń. Wykorzystano założenie Bernouliego o przekrojach płaskich prostopadłych do osi odkształconej pręta.
Opracowany element w zagadnieniach statyk liniowej, dynamiki i stateczności początkowej okazał się bardzo efektywny gdy konstrukcja obciążona była równomiernie. Stosując go uzyskiwano szybką zbieżność rozwiązania. W porównaniu z elementami ramy płaskiej cztero - ośmiokrotnie zmniejszenie gęstości podziału prowadziło do tych samych rozwiązań.
Przy obliczaniu ugięć łuku obciążonego siłą skupioną otrzymano szybszą zbieżność stosując opisany element. Był on wyraźnie lepszy od elementów ramy płaskiej. Niepokoi jednak analiza siły przekrojowej (momentu) przy obciążeniu łuku siłą skupioną. Badając wartość momentu pod siłą okazało się, że minimalnie lepiej zbieżny wynik otrzymujemy stosując element ramy płaskiej opisanej na łuku. Naświetleniu uległy tym samym wady elementu, w którym założenie stałej siły podłużnej prowadzi przy znaczących obciążeniach skupionych do wolniejszej zbieżności rozwiązania.
Analiza statyki liniowej, stateczności początkowej i drgań własnych pozwala na wniosek, że opracowany element daje bardzo dobre wyniki przy obciążeniach równomiernych konstrukcji łukowej i co najmniej dobre wyniki z punktu widzenia inżynierskiego jak element ramy płaskiej przy obciążeniach dużymi siłami skupionymi.
Bogdan Kazimierczak
Przedmiotem pracy jest łuk kołowy w zagadnieniach statyki liniowej, dynamiki i stateczności początkowej. Celem pracy jest opracowanie elementu skończonego płaskiego łuku kołowego dla potrzeb systemu FEAS.
System FEAS wykorzystywany jest w dydaktyce , a pełna instalacja w środowisku systemu operacyjnego UNIX pozwala wykorzystać go jako efektywne narzędzie wspomagające pracę projektanta. Systemem tym można analizować w zakresie statycznym i dynamicznym konstrukcje prętowe, powierzchniowe , bryłowe, analizować stateczność konstrukcji prętowych, obliczać charakterystyki geometryczne dowolnych przekrojów, analizować rozkład temperatur w obiektach dwu- i trójwymiarowych. Jednym z głównych części składowych FEAS'a jest Biblioteka Elementów Skończonych. Należą do niej dwuwęzłowe elementy prętowe, płyty cienkie i średniej grubości, powłoki cienkie. Brak w niej elementu łuku kołowego, który byłby spójny z innymi elementami systemu FEAS. Element taki powinien mieć 6 stopni swobody, dać się połączyć z elementem ramy płaskiej.
Ważnym punktem w pracy był dobór funkcji kształtu opisujących pole przemieszczeń elementu skończonego. Zaproponowano funkcje kształtu dla elementu łuku kołowego w postaci sumy wielomianów stopnia drugiego, pierwszego oraz funkcji trygonometrycznych sinus i cosinus zmiennej s spełniające warunek stałej podłużnej odkształcalności osi łuku.
Należy zaznaczyć, że dobór funkcji kształtu jest uzależniony od klasy zagadnienia, do którego badania ma być dany element skończony używany. Wybrane w pracy funkcje kształtu powinny dawać szczególnie dobre efekty przy analizowaniu konstrukcji z obciążeniem równomiernie rozłożonym o charakterze parcia hydrostatycznego gdyż siła w łuku ma wtedy stałą wartość.
Wybrane funkcje kształtu posłużyły do zbudowania macierzy sztywności, mas oraz geometrycznej elementu o wyrazach danych w postaci jawnej ( bez konieczności całkowania numerycznego). Napisano zestaw procedur obliczających w.w macierze i redukujących obciążenie przęsłowe do węzłowego. Skorzystano także z wielu programów bibliotecznych systemu FEAS. Poprawność wyprowadzonych macierzy sprawdzono porównując otrzymane wartości ugięć, częstotliwości drgań własnych i obciążeń krytycznych z wartościami znanymi w literaturze.
W rozważaniach przyjęto liniowe związki fizyczne - prawo Hook'a, liniowe związki geometryczne dla małych przemieszczeń i odkształceń. Wykorzystano założenie Bernouliego o przekrojach płaskich prostopadłych do osi odkształconej pręta.
Opracowany element w zagadnieniach statyk liniowej, dynamiki i stateczności początkowej okazał się bardzo efektywny gdy konstrukcja obciążona była równomiernie. Stosując go uzyskiwano szybką zbieżność rozwiązania. W porównaniu z elementami ramy płaskiej cztero - ośmiokrotnie zmniejszenie gęstości podziału prowadziło do tych samych rozwiązań.
Przy obliczaniu ugięć łuku obciążonego siłą skupioną otrzymano szybszą zbieżność stosując opisany element. Był on wyraźnie lepszy od elementów ramy płaskiej. Niepokoi jednak analiza siły przekrojowej (momentu) przy obciążeniu łuku siłą skupioną. Badając wartość momentu pod siłą okazało się, że minimalnie lepiej zbieżny wynik otrzymujemy stosując element ramy płaskiej opisanej na łuku. Naświetleniu uległy tym samym wady elementu, w którym założenie stałej siły podłużnej prowadzi przy znaczących obciążeniach skupionych do wolniejszej zbieżności rozwiązania.
Analiza statyki liniowej, stateczności początkowej i drgań własnych pozwala na wniosek, że opracowany element daje bardzo dobre wyniki przy obciążeniach równomiernych konstrukcji łukowej i co najmniej dobre wyniki z punktu widzenia inżynierskiego jak element ramy płaskiej przy obciążeniach dużymi siłami skupionymi.