"Modelowanie płyt i powłok żelbetowych
metodą elementów skończonych"
Witold Andrzej Goszko
Analiza i projektowanie zbrojonych i wstępnie sprężonych konstrukcji betonowych były oparte na prostych warunkach równowagi i zasadach doświadczalnych przez prawie stulecie. Procedury analityczne, które mogą dokładnie określić stan naprężenia i stan odkształcenia w elementach żelbetowych są bardzo skomplikowane z powodu wielu czynników, które należy uwzględnić. Należą do nich między innymi:
nieliniowe zachowanie obciążenie-odkształcenie betonu i trudności w sformułowaniu odpowiednich zależności konstytutywnych dla złożonego stanu naprężenia,
postępujące pękanie betonu pod zwiększającym się obciążeniami, komplikacje w sformułowaniu stanu zniszczenia dla różnych stanów naprężenia,
uwzględnienie zbrojenia stalą i wzajemnego oddziaływania pomiędzy obydwoma materiałami, tak aby tworzyły kompozyt,
efekty zależne od czasu, jak pełzanie i skurcz betonu.
Z tych powodów wiele wczesnych badań analitycznych żelbetu było opartych na podejściu empirycznym i wynikach eksperymentów lub na analizie liniowo-sprężystej, przyjmującej, że konstrukcja jest nie spękana, homogeniczna, izotropowa i sprężysta. Te tradycyjne metody zasadniczo dawały bezpieczne rozwiązania, ale często zawierały nieodłączne sprzeczności i często nie odzwierciedlały w łatwy do zrozumienia sposób złożonej pracy materiału. Nadejście metody elementów skończonych nie tylko sprawiło, że liniowa analiza powłok dowolnych kształtów, pod dowolnym obciążeniem i dla dowolnych warunków brzegowych stała się stosunkowo prosta, ale także umożliwiła analizę problemów materiałowo i geometrycznie nieliniowych.
Przy projektowaniu kodów komputerowych ciągle korzysta się z badań doświadczalnych. Ta sytuacja jest bardzo charakterystyczna dla złożonego zachowania żelbetowych elementów i konstrukcji. Pękanie betonu, usztywnienie sfery rozciąganej, przestrzennie nieliniowe właściwości materiałowe oraz zachowanie połączeń pomiędzy betonem i stalą pierwotnie pomijano lub traktowano w bardzo przybliżony sposób. Metody numeryczne, a w szczególności metoda elementów skończonych, pozwalają na bardziej racjonalną analizę.
Sukces w rozwoju metody elementów skończonych dla zastosowań do analizy żelbetu jest bezpośredni związany z rozwojem ilościowym informacji dotyczących zachowania betonu i związków obciążenie-odkształcenie. Pomimo intensywnych badań nie powstało żadne powszechnie akceptowane prawo konstytutywne, które by całkowicie opisywało zachowanie betonu w złożonym stanie naprężenia. Istnieje kilka podejść, opartych na danych doświadczalnych, reprezentowania związków konstytutywnych dla betonu w przestrzennym stanie naprężenia i można je podzielić na cztery następujące grupy:
liniowe i nieliniowe teorie sprężystości,
idealne i pracujące ze wzmocnieniem teorie plastyczności,
endochroniczne teorie plastyczności,
teorie plastycznego pękania.
Złożone modele konstytutywne nie znalazły dotychczas zastosowania w analizie konstrukcji inżynierskich,
zarówno ze względu na swoją skomplikowaną postać matematyczną, jak i trudności w identyfikacji funkcji materiałowych. Najczęściej stosowane są trzy następujące ujęcia:
model przyrostowo hiposprężysty, w rzeczywistości zakładający ortotropowe właściwości betonu przy uzmiennieniu modułów Ei, ,vi, i=1,2,3 w zależności od intensywności odkształcenia; czasami uwzględniano w takim przypadku obwiednię naprężeń cyklicznie zmiennych w przestrzeni s-e, co umożliwiało analizę konstrukcji dla obciążeń cyklicznych,
model przyrostowy oparty na równaniach Prandtla-Reussa, zwykle łączony z kryterium Paula maksymalnych naprężeń rozciągających (bardzo popularny model)
model deformacyjny oparty na zmienności modułów odkształcenia postaciowego i objętościowego. Początkowy opis modelu był później ulepszony dla stanu dwu- i trójosiowego, powstało sformułowanie przyrostowe i ujęcie zależne od drogi obciążenia; powstałe też uogólnienie do postaci hipersprężystej dla dużych odkształceń.
W analizie konstrukcji metodą elementów skończonych używa się zasadniczo dwóch różnych podejść aby uzyskać wyidealizowane związki konstytutywne: 1) metody z uwzględnieniem zmian sztywności i 2) podejścia warstwowego. W zmiennej (modyfikowanej) sztywności przyjęto makroskopowy punkt widzenia. Przyjmuje się ogólna empiryczną zależność pomiędzy krzywizną i momentem w której różne sztywności giętne odzwierciedlają różne fazy pracy materiału.
Podejście warstwowe jest oparte na wyidealizowanej zależności naprężenie-odkształcenie dla betonu i stali razem z założeniami zgodności odkształceń pomiędzy oboma materiałami. Element skończony jest podzielony na fikcyjne warstwy betonu będące w płaskim stanie naprężenia, z każda może mieć inne własności materiałowe odpowiednio do stanu w jakim się ona znajduje. Metoda ta, uwzględniając maksymalnie dużo fizycznych aspektów zagadnienia, takich jak fizyczne nieliniowości betonu i stali, zarysowanie, usztywnienie stref rozciąganych po zarysowaniu i inne zjawiska, charakteryzuje się jednocześnie efektywnością w analizie komputerowej ze względu na użycie płaskich elementów.
Obecnie niewiele programów komercyjnych, przystosowanych do potrzeb inżynierskich, umożliwia analizę konstrukcji betonowych. Większość programów tego typu powstała w ośrodkach akademickich i służy głównie zespołom które je stworzyły.
Ta praca zawiera opis programu służącego do analizy płyt i powłok żelbetowych metodą elementów skończonych. Wykorzystano tu program, który został opublikowany przez Hintona i Owena.
W programie zaimplementowano element zdegenerowany powłoki średnio grubej typu ahmadowskiego oraz użyto podejścia warstwowego. Beton modeluje się jako materiał sprężysto-krucho-plastyczny przy ściskaniu i krucho-sprężysty przy rozciąganiu. Funkcję plastyczności przyjęto w formie podobnej do zaproponowanej przez Druckera-Pragera. Uwzględniono również efekt wzmocnienia materiału. Rozważa się podwójne kryterium dla płynięcia i zniszczenia w zależności od stanu naprężenia i stanu odkształcenia, które jest uzupełnione przez kryterium maksymalnych naprężeń rozciągających. Użyto zasad pełnego, zredukowanego i selektywnego całkowania. Właściwości betonu są określone dla każdej warstwy, a zbrojenie przyjęto jako rozmazaną warstwę o równoważnej grubości z jednoosiowymi właściwościami wytrzymałościowymi i giętnymi. Efekt pękania betonu przyjęto jako rozłożony w obrębie badanego obszaru oraz używane są procedury uśredniające do symulowania pękania betonu.
Zapoznanie się z opisanym w pracy programem pozwoli na dobre zrozumienie zasad formułowania elementu dla konkretnego i w sumie bardzo trudnego do modelowania materiału. W efekcie osoba obeznana z tym elementem będzie mogła się pokusić w przyszłości na włączenie go do jakiejś aplikacji MES, istniejącej lub nowotworzonej. Można również w oparciu o to sformułowanie stworzyć nowy element do analizy konstrukcji żelbetowych.
Integralną częścią pracy było uruchomienie programu przedstawionego przez Hintona i Owena, który pozwala na taką analizę. Przeprowadzono testy wzorcowe standardowe dla tego typu elementów.
Witold Andrzej Goszko
Analiza i projektowanie zbrojonych i wstępnie sprężonych konstrukcji betonowych były oparte na prostych warunkach równowagi i zasadach doświadczalnych przez prawie stulecie. Procedury analityczne, które mogą dokładnie określić stan naprężenia i stan odkształcenia w elementach żelbetowych są bardzo skomplikowane z powodu wielu czynników, które należy uwzględnić. Należą do nich między innymi:
Z tych powodów wiele wczesnych badań analitycznych żelbetu było opartych na podejściu empirycznym i wynikach eksperymentów lub na analizie liniowo-sprężystej, przyjmującej, że konstrukcja jest nie spękana, homogeniczna, izotropowa i sprężysta. Te tradycyjne metody zasadniczo dawały bezpieczne rozwiązania, ale często zawierały nieodłączne sprzeczności i często nie odzwierciedlały w łatwy do zrozumienia sposób złożonej pracy materiału. Nadejście metody elementów skończonych nie tylko sprawiło, że liniowa analiza powłok dowolnych kształtów, pod dowolnym obciążeniem i dla dowolnych warunków brzegowych stała się stosunkowo prosta, ale także umożliwiła analizę problemów materiałowo i geometrycznie nieliniowych.
Przy projektowaniu kodów komputerowych ciągle korzysta się z badań doświadczalnych. Ta sytuacja jest bardzo charakterystyczna dla złożonego zachowania żelbetowych elementów i konstrukcji. Pękanie betonu, usztywnienie sfery rozciąganej, przestrzennie nieliniowe właściwości materiałowe oraz zachowanie połączeń pomiędzy betonem i stalą pierwotnie pomijano lub traktowano w bardzo przybliżony sposób. Metody numeryczne, a w szczególności metoda elementów skończonych, pozwalają na bardziej racjonalną analizę.
Sukces w rozwoju metody elementów skończonych dla zastosowań do analizy żelbetu jest bezpośredni związany z rozwojem ilościowym informacji dotyczących zachowania betonu i związków obciążenie-odkształcenie. Pomimo intensywnych badań nie powstało żadne powszechnie akceptowane prawo konstytutywne, które by całkowicie opisywało zachowanie betonu w złożonym stanie naprężenia. Istnieje kilka podejść, opartych na danych doświadczalnych, reprezentowania związków konstytutywnych dla betonu w przestrzennym stanie naprężenia i można je podzielić na cztery następujące grupy:
Złożone modele konstytutywne nie znalazły dotychczas zastosowania w analizie konstrukcji inżynierskich, zarówno ze względu na swoją skomplikowaną postać matematyczną, jak i trudności w identyfikacji funkcji materiałowych. Najczęściej stosowane są trzy następujące ujęcia:
W analizie konstrukcji metodą elementów skończonych używa się zasadniczo dwóch różnych podejść aby uzyskać wyidealizowane związki konstytutywne: 1) metody z uwzględnieniem zmian sztywności i 2) podejścia warstwowego. W zmiennej (modyfikowanej) sztywności przyjęto makroskopowy punkt widzenia. Przyjmuje się ogólna empiryczną zależność pomiędzy krzywizną i momentem w której różne sztywności giętne odzwierciedlają różne fazy pracy materiału.
Podejście warstwowe jest oparte na wyidealizowanej zależności naprężenie-odkształcenie dla betonu i stali razem z założeniami zgodności odkształceń pomiędzy oboma materiałami. Element skończony jest podzielony na fikcyjne warstwy betonu będące w płaskim stanie naprężenia, z każda może mieć inne własności materiałowe odpowiednio do stanu w jakim się ona znajduje. Metoda ta, uwzględniając maksymalnie dużo fizycznych aspektów zagadnienia, takich jak fizyczne nieliniowości betonu i stali, zarysowanie, usztywnienie stref rozciąganych po zarysowaniu i inne zjawiska, charakteryzuje się jednocześnie efektywnością w analizie komputerowej ze względu na użycie płaskich elementów.
Obecnie niewiele programów komercyjnych, przystosowanych do potrzeb inżynierskich, umożliwia analizę konstrukcji betonowych. Większość programów tego typu powstała w ośrodkach akademickich i służy głównie zespołom które je stworzyły.
Ta praca zawiera opis programu służącego do analizy płyt i powłok żelbetowych metodą elementów skończonych. Wykorzystano tu program, który został opublikowany przez Hintona i Owena.
W programie zaimplementowano element zdegenerowany powłoki średnio grubej typu ahmadowskiego oraz użyto podejścia warstwowego. Beton modeluje się jako materiał sprężysto-krucho-plastyczny przy ściskaniu i krucho-sprężysty przy rozciąganiu. Funkcję plastyczności przyjęto w formie podobnej do zaproponowanej przez Druckera-Pragera. Uwzględniono również efekt wzmocnienia materiału. Rozważa się podwójne kryterium dla płynięcia i zniszczenia w zależności od stanu naprężenia i stanu odkształcenia, które jest uzupełnione przez kryterium maksymalnych naprężeń rozciągających. Użyto zasad pełnego, zredukowanego i selektywnego całkowania. Właściwości betonu są określone dla każdej warstwy, a zbrojenie przyjęto jako rozmazaną warstwę o równoważnej grubości z jednoosiowymi właściwościami wytrzymałościowymi i giętnymi. Efekt pękania betonu przyjęto jako rozłożony w obrębie badanego obszaru oraz używane są procedury uśredniające do symulowania pękania betonu.
Zapoznanie się z opisanym w pracy programem pozwoli na dobre zrozumienie zasad formułowania elementu dla konkretnego i w sumie bardzo trudnego do modelowania materiału. W efekcie osoba obeznana z tym elementem będzie mogła się pokusić w przyszłości na włączenie go do jakiejś aplikacji MES, istniejącej lub nowotworzonej. Można również w oparciu o to sformułowanie stworzyć nowy element do analizy konstrukcji żelbetowych.
Integralną częścią pracy było uruchomienie programu przedstawionego przez Hintona i Owena, który pozwala na taką analizę. Przeprowadzono testy wzorcowe standardowe dla tego typu elementów.